Triangulo de Pascal

                                                                    Triangulo de Pascal

¿Qué es?

Es la representación de los coeficientes binomiales, ordenados en forma de triangulo. El interés del Triángulo de Pascal radica en su aplicación en álgebra y permite calcular de forma sencilla números combinatorios lo que sirve para aplicar el binomio de Newton esta notación se desarrollo en 1654 Por el Francés Blaise Pascal

  ¿Para que Sirve?

   Esta técnica fue utilizada por matemáticos indios, chinos y persas durante el siglo XI. Posteriormente, el matemático italiano Nicolás Tartaglia publicó esta técnica, pero en formato de una tabla de números El triangulo de Pascal tiene la función de hallar el coeficiente del desarrollo binomial desde n=2 hasta el numero que sea necesario.   

Representación Gráfica del triangulo de Pascal 

 Aquí te dejo un Breve vídeo de la explicación del triangulo de pascal:

Relación que Tiene con el Binomio de Newton:
Es un algoritmo que permite calcular una potencia cualquiera de un binomio, para ello se emplean los coeficientes binomiales, que no son mas que una sucesión de números combinatorios. La formula general del binomio de newton dice:

(En el caso en que en el binomio figure un signo menos los signos del desarrollo deben irse alternando de la forma siguiente ( + - + - + - )
La expresión que proporciona las potencias de una suma ${\displaystyle (a+b)^{n}\;}$ se denomina Binomio de Newton 

 El triangulo de pascal nos proporciona una gran ayuda en la cual nos podemos guiar para realizar e resolver binomios. Para facilitar, la búsqueda del resultado de un binomio.

ISAAC NEWTON

Relación que Tiene con el Binomio de Newton con el triangulo de Pascal  aquí podrás tener una idea mas especifica sobre el tema te invito a ver el vídeo se que  te puede ayudar 

 Si bien las propiedades y aplicaciones del triángulo fueron conocidas con anterioridad al tratado de Pascal por matemáticos indios, chinos o persas, fue Pascal quien desarrolló muchas de sus aplicaciones y el primero en organizar la información de manera conjunta
La construcción del triángulo está relacionada con los coeficientes binomiales según la fórmula (también llamada la Regla de Pascal)   

En este vídeo te dejo un ejemplo de como puedes realizar estos ejercicios 

Dato Importante

El triángulo de Pascal se construye de la siguiente manera: se comienza en el número «1» centrado en la parte superior; después se escriben una serie de números en las casillas situadas en sentido diagonal descendente, a ambos lados, del siguiente modo: se suman las parejas de cifras situadas horizontalmente (1 + 1), y el resultado (2) se escribe debajo de dichas casillas; el proceso continúa escribiendo en las casillas inferiores la suma de las dos cifras situadas sobre ellas (1 + 2 = 3), De manera general, esto se cumple así debido a la regla de Pascal, que indica que ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose k}={n-1 \choose k-1}+{n-1 \choose k}}$ para todo entero positivo n y todo entero positivo k entre 0 y n. En la ilustración, en la última fila, la cifra 4 cuyas casillas situadas sobre ella corresponden a las cifras 1 y 3, se cumple que ${\displaystyle \scriptstyle {4 \choose 1}={3 \choose 0}+{3 \choose 1}}$, para la cifra 6 se cumple ${\displaystyle \scriptstyle {4 \choose 2}={3 \choose 1}+{3 \choose 2}}$ y para la última cifra 4 ${\displaystyle \scriptstyle {4 \choose 3}={3 \choose 2}+{3 \choose 3}}$; de igual manera, se cumple propiedad para las demás filas.


Esto es un ejemplo de Se acomodan los números en el Triangulo de PASCAL

Por lo tanto, todas los cifras escritas en cada fila del triángulo, corresponden a los coeficientes del desarrollo binomial de la potencia de una suma

${\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\quad }$

${\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\quad }$